Dobrý den,
pokusím se to objasnit, a pro větší srozumitelnost to poněkud zjednoduším; nemám však patent na neomylnost, tak mne prosím nekamenujte.
Takže: vzhledem k tomu, že cívka relé je stejnosměrně oddělena od výstupu časovače kondenzátorem, je relé buzeno pouze při změnách výstupního napětí časovače; to se však nemění od nuly do napětí zdroje, ale v poněkud menším rozsahu, který je silně závislý na proudu procházejícím výstupem časovače (viz katalogové údaje). Když jste to poskládal na soklu, relé překlápělo; to znamená, že
- časovač je schopen dodat dostatečný proud k tomu, aby relé překlápělo
- rozsah, v němž se pohybuje výstupní napětí časovače, dostačuje k překlápění relé; je však třeba upozornit, že tyto změny jsou zřejmě v těsné blízkosti minimálního napětí, při němž relé ještě překlápí.
Pouštíte-li na kondenzátor a relé prostřednictvím UTP kabelu střídavě 0 a 5V, pak se projevují úbytky napětí na jeho vodičích; ty jsou však poměrně malé, takže relé i v tomto případě překlápí.
Pokud se projevuje pouze jeden z výše uvedených vlivů, relé překlápí; jestliže však UTP kabel připojíme k výstupu časovače, pak se projeví jak vliv menšího rozsahu výstupního napětí časovače v porovnání s napájecím napětím, tak vliv úbytku napětí na kabelu, a relé nepřeklápí.

Co s tím: sám uvádíte, že při 7V to funguje, proto bych zvýšil napětí zdroje; změny napětí na výstupu časovače budou dostatečně velké k tomu, aby relé spolehlivě překlápělo, i když se budou uplatňovat oba výše uvedené vlivy. Další trafo přidávat nemusíte - stačí je vyměnit za trafo s vyšším napětím na sekundáru; je-li to nepřekonatelný problém, pak je možno použít některou z verzí zdvojovače napětí.
Za pokus by možná stálo použít vodiče o větším průřezu nebo alespoň využít k připojení relé a kondenzátoru všechny vodiče UTP kabelu (má-li kabel kupř. 8 vodičů, propojit paralelně 4+4 vodiče a získat tak 2 vodiče o 4x větším průřezu), avšak výsledek Vám v tomto případě nikdo nezaručí.