když ji pustíme, snaží se zalézt někam pod keř

Každá kočka, žijící jen doma a neznající venček, se tam bojí (pozná se dle toho, že leze po břiše) a snaží se někam zalézt do bezpečí, obvykle někam, od kud se nedá vydolovat. Jestli máš zahradu a není blízko železniční trať nebo frekventovaná silnice, tak je venčení kočky žádoucí. Naučí se zamňoukat když bude chtít na WC. Venku si čase zvykne, chce to trpělivost.
A proti tloustnutí je jediná rada (je kastrovaná?). Méně krmit. Ostatně jako u člověka, též omezit příjem kalorí.